VARIÉTÉS

I

LA NOTATION ALGÉBRIQUE EN CHINE

AU XIII SIECLE

Avec Tchou Che-Kie (1), l'Algèbre chinoise atteint, au XIII siècle, son ère la plus brillante.

Le principal ouvrage de ce grand mathématicien, Le précieux Miroir des quatre Éléments, nous a été intégralement conservé. Il a été imprimé, d'après les copies que gardaient et se transmettaient, d'àge en àge, les familles de lettrés. Malheureusement, le sens de certaines méthodes employées est complètement perdu, et perdu depuis longtemps. Au XVIIe siècle, les missionnaires mathématiciens cherchèrent en vain à en retrouver le fil conducteur.

Nous avons l'intention de publier ailleurs une traduction complète et annotée du traité chinois : elle s'adressera surtout aux sinologues et aux historiens des mathématiques; mais nous avons pensé qu'un public de lecteurs plus étendu trouverait quelque intérêt à l'exposé succinct de la notation algébrique, très ingénieuse et très originale, qui avait cours en Chine dans les écoles de lettrés dès le x siècle. Ce sera le but de cet article. Tout n'y est pas inédit; mais notre exposé et les exemples qui l'éclairent, auront le mérite d'être empruntés exclusivement au

(1) Cantor écrit Tschu Schi Kih; c'est l'orthographe adoptée par le Dr Biernatzki, de Berlin, dans son vaste article Die Arithmetik der Chinesen (JOURNAL DE CRELLE, 1856). Wylie (Notes, p. 94) avait figuré Choo Che-Kié. L'on trouve encore Chu-Shih-Chich.

Précieux Miroir du grand algébriste; ils refléteront donc, sans mélange possible, la physionomie du langage mathématique en Chine, à cette époque reculée.

CHIFFRES ET NOMBRES.

La numération écrite des Chinois est, comme celle des Arabes et comme la nôtre aujourd'hui, une numération décimale; elle emploie neuf chiffres et le zéro :

chaque chiffre ayant une valeur propre et, dans l'écriture des nombres, une valeur de position; ainsi, 261 s'écrit

Quand la juxtaposition de deux chiffres peut amener une ambiguité, l'un deux s'écrit horizontalement ou renversé; ainsi 123 se notera

Disons de suite, pour ne pas avoir à y revenir en parlant des expressions algébriques, qu'un nombre à ajouter s'écrit d'après les conventions précédentes, sans l'adjonction d'aucun signe; une barre transversale tracée sur le dernier chiffre à droite, indique que le nombre est à soustraire. Ainsi

Pour simplifier la composition typographique de cet article, nous substituerons aux chiffres chinois, dans les exemples qui suivront, leurs équivalents arabes, et nous ferons usage des signes et.

La numération parlée diffère légèrement de la nôtre dans l'énoncé des grands nombres les Chinois ont d'autres unités principales. Ils divisent les nombres en tranches de quatre chiffres, au lieu de les diviser en tranches de trois. Nous rencontrons donc chez eux :

Ainsi 1.0000 se lit i wan, un dix-milliers; 100.0000, pé wan, cent dix-milliers; 1.0000.0000, wan wan, dix-milliers de dixmilliers, etc.; 2246.7410 se lira donc 2246 dix-milliers 7410. Passons aux notations algébriques.

DESIGNATION DES INCONNUES. Tchou Che-Kié n'emploie jamais plus de quatre inconnues et se sert de quatre caractères pour les désigner. Ce sont :

J'ai dit pour désigner les inconnues, et non pour les écrire. Ce qu'il y a, en effet, d'extrêmement remarquable dans sa notation, c'est que non seulement ces caractères ne figurent pas dans les expressions algébriques, mais que les inconnues n'y sont pas représentées par des symboles. Les inconnues n'ont les dénominations spéciales indiquées que dans la préparation de la mise en équation du problème. Tchou-Che-Kié dira, par exemple, à propos d'un problème relatif au triangle rectangle :

« Prenons l'élément Ciel pour représenter la base (le plus petit côté) du triangle rectangle; prenons l'élément Terre pour figurer la hauteur; employons l'élément Homme pour symboliser l'hypoténuse; et soit l'élément Chose pour indiquer la quantité à trouver. >>

Dans notre sys

PRINCIPE DE LA NOTATION DES INCONNUES. tème de numération écrite, nous utilisons la position relative des chiffres sur une ligne horizontale pour enrichir leur signification intrinsèque d'une modalité nouvelle le rang du chiffre indique, d'après la convention connue, l'ordre des unités qu'il représente. A part l'adjonction aux nombres d'indices inférieurs et supérieurs, et l'usage des exposants, nous n'avons jamais songé en Occident à utiliser, en vue de significations supplémentaires, la position relative des chiffres ou des nombres suivant des lignes verticales ou obliques. L'habitude de l'écriture horizontale, peut-être aussi des considérations d'ordre typographique, nous ont sans doute tenu les yeux fermés sur cette extension

possible de la valeur de position des symboles numériques. Les Chinois, qui rangent en files verticales leurs symboles idéographiques, n'avaient pas les mèmes raisons de ne pas étendre, aux différentes directions du plan, cette précieuse valeur significative de position. Et c'est ce qui leur a permis, comme nous allons le voir, de construire des expressions algébriques où le rôle des différentes inconnues, quoique déjà compliqué, reste parfaitement distinct, sans pourtant qu'aucun symbole ne représente ces inconnues.

FONCTION LINÉAIRE A QUATRE VARIABLES AU PLUS. exemple, la fonction linéaire

Au point de vue de la notation, nous pouvons distinguer dans cette expression : les variables ou les inconnues, leurs coefficients et le terme indépendant, avec leurs signes. Comme nous l'avons donné à entendre, les expressions algébriques vont se construire autour d'un centre dans toutes les directions du plan.

Le centre, la clef de voûte de l'expression, est marquée par le caractère qui se lit t'ai. Ce symbole joue un rôle important dans les spéculations philosophiques : c'est le grand suprême, le grand sublime. Nous le représenterons par t, qui est la première lettre du son chinois t'ai et de l'expression « terme tout connu ». On l'écrit en l'entourant d'un petit carré. Veut-on maintenant figurer la première inconnue, t'ien, ciel, soit une fois x, on place sous la case tune case identique contenant le chiffre 1 ainsi

t

représente la première inconnue, x. De même, en plaçant la seconde case, à gauche de la caset, ou à droite, ou audessus, on représentera une fois les inconnues ti, ou y, jen, ou z et ou, ou u. Le simple emboitement de ces casiers, donnant le tableau

III® SÉRIE. T. XXIV.

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correspond à l'expression x + y + z + u.

Lorsque les confusions ne sont pas à craindre, Tchou Che-Kié fait volontiers l'économie des cadres de ces casiers; il écrit , ... et le tableau devient

simplement¦ ¦

Que le lecteur désireux de nous suivre plus loin veuille bien fixer dans son imagination le tableau qui va suivre. C'est le seul effort que nous demanderons à sa mémoire; mais cette rose des vents est indispensable à qui veut s'orienter dans le labyrinthe des constructions algébriques chinoises.

Le coefficient d'une inconnue diffère-t-il de l'unité positive, il s'écrit avec son signe à la place du chiffre 1 de l'exemple précédent, dans la case ou la situation qui correspond à l'inconnue considérée.

t 5

t 5

2

Ainsi signifie 5r, t-2 représente -2: et est l'équivalent de 5x-22.

Quant au terme tout connu, il y a plusieurs manières de le figurer chez le mathématicien chinois; mais la notation la plus claire et d'ailleurs la plus usitée consiste simplement à l'écrire dans la case centrale, à gauche du caractère l'ai. Si le terme indépendant est nul, on laisse le caractère tel qu'il est, sans lui adjoindre aucun coefficient numérique. Ainsi