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systématique, à d'importants résultats dus à Gauss, à Legendre, à François Neumann.

La troisième partie de l'ouvrage est consacrée aux séries infinies dont les termes sont constitués au moyen de fonctions métasphériques, jouant, dans ce domaine, un rôle analogue à celui que remplissent les séries de Fourier par rapport aux fonctions trigonométriques.

C'est ainsi que l'auteur envisage successivement les séries de Charles Neumann et de François Neumann, applicables au développement de fonctions analytiques en des domaines limités par certaines ellipses. Il éclaire d'ailleurs cet exposé d'exemples intéressants.

Poussant ses propres recherches plus loin encore, M. Nielsen est parvenu, en dépit des exceptionnelles difficultés de la question, à édifier, à son tour, une savante théorie des séries infinies dans lesquelles l'élément, au lieu d'être simplement une fonction métasphérique, est le produit de deux telles fonctions. Malheureusement, de telles séries, ainsi que l'auteur le remarque luimême,« sont aussi compliquées qu'elles ne semblent présenter qu'un intérêt médiocre au point de vue des applications pratiques ». L'auteur se borne donc, simplement pour mettre en lumière la façon dont il a triomphé des obstacles que rencontre une telle recherche, à traiter le cas le plus simple, celui où l'élément générateur de la série est un carré de fonction métasphérique.

M. Nielsen étudie ensuite quelques séries de fonctions hypergéométriques généralisées, indiquant la possibilité d'une évaluation commune de toutes les séries connues de ce genre.

Il établit enfin deux formules d'addition relatives aux fonctions métasphériques, dont la seconde lui appartient en propre, et dont, ainsi qu'il en fait la remarque, la raison... est à chercher dans le fait curieux que la fonction métasphérique générale, prise d'un argument très compliqué, satisfait à des équations aux dérivées partielles d'une forme très simple ».

La quatrième et dernière partie est réservée à l'examen de la façon dont interviennent les fonctions métasphériques dans la détermination de certaines intégrales définies. On a plaisir à y voir déduire, des formules générales précédemment établies, de beaux résultats dus à Laplace, Jacobi, Heine, Dirichlet,... L'auteur développe à ce point de vue d'intéressantes applications des séries de Charles Neumann et des formules d'addition; il

termine par de curieuses applications de l'intégrale de M. de Sonine contenant des fonctions cylindriques.

A ceux qu'intéresse le jeu des transformations analytiques savantes et ingénieuses, tel que le pratiquaient les Hermite et les Stieltjes, le beau livre de M. Nielsen offrira une source abondante de jouissances intellectuelles.

M. O.

IV

SOMMATIONS PAR UNE FORMULE D'EULER, par E. LEGRAND. Un vol. in-8° de 46 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1911.

Il s'agit de la formule faisant connaître la différence entre l'intégrale d'une fonction prise entre a et anh et la somme des rectangles ayant pour bases les intervalles h successifs, considérés entre les mêmes limites, et pour hauteurs les ordonnées correspondantes de la courbe représentative de la fonction considérée, formule dont, comme on sait, les coefficients successifs sont les nombres de Bernoulli.

Cette formule sert, en général, au calcul par approximation de certaines intégrales définies. M. Enrique Legrand l'utilise inversement, lorsque l'intégrale y intervenant est de celles qu'on sait effectuer, pour obtenir diverses sommations, soit en toute rigueur, soit approximativement, et effectuer certaines recherches de limites.

Les problèmes traités sont d'une grande variété et fournissent d'intéressants exercices d'algèbre formelle. Les calculs numériques y sont développés avec grand soin et le degré d'approximation obtenu toujours mis en évidence.

Par une singularité qui mérite d'être mentionnée, le texte est donné sur deux colonnes, d'une part en français, de l'autre en espagnol. Les deux versions sont si exactement équilibrées que toutes les formules et équations, communes à l'une et à l'autre, ont pu être mises en vedette sur toute la largeur de la page entre des alinéas exactement de même longueur en l'une et l'autre langue.

M. O.

V

LEÇONS SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET LES COORDONNÉES CURVILIGNES, par G. DARBOUX, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, Professeur à l'Université de Paris, 2e édit., complétée. Un vol. in-8° de 567 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1910.

La première édition de cet ouvrage (1), parue en 1898, était destinée, dans la pensée de l'auteur, à être suivie d'un Tome II qu'il avait dessein de consacrer à l'exposition de certaines théories liées au sujet principal, de celles notamment qui concernent les formes quadratiques de différentielles. Diverses circonstances ne lui ayant pas permis de remplir tout le programme qu'il s'était ainsi tracé, M. Darboux s'est décidé à constituer, au moyen des matériaux qu'il avait commencé à réunir pour ce second volume, un complément au premier dont la nouvelle édition, ainsi accrue, se trouve renfermer, ainsi que le fait remarquer l'auteur lui-même, « tout ce qui, au moment présent, est acquis d'essentiel à la Science sur la belle théorie inaugurée par les travaux de Gabriel Lamé ». Le volume ainsi constitué apparaît alors comme une sorte de cinquième volume pour cette importante suite de Leçons sur la théorie générale des surfaces qui resteront comme l'œuvre maîtresse du savant géomètre.

A la suite des deux premiers livres qui figuraient dans la première édition, la partie nouvelle forme, sous le titre de Théories générales, le Livre III. Elle s'ouvre par un chapitre d'essence purement analytique, où l'auteur étudie certains systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre qui jouent en Géométrie infinitésimale un rôle capital, savoir: des systèmes résolus par rapport à toutes les dérivées des fonctions inconnues y figurant.

L'auteur distingue parmi eux et traite à part: 1° ceux pour lesquels on connait une dérivée, et une seule, de chaque fonction inconnue; 2° ceux qui déterminent toutes les dérivées des fonctions inconnues et où toutes les conditions d'intégrabilité sont vérifiées; 3° ceux où certaines fonctions entrent par plusieurs dérivées. En employant, au lieu des séries de Cauchy, la méthode d'approximation de M. Picard, M. Darboux établit, pour

(1) Voir la REVUE de juillet 1898, p. 268.

chacun de ces trois types, des théorèmes généraux qui fixent les conditions d'existence et le degré de généralité des solutions. Ces théorèmes, susceptibles de nombreuses applications non seulement à la Géométrie, mais encore à la Physique mathématique, sont immédiatement utilisés par l'auteur aux fins qu'il se propose.

M. Darboux en tire, en effet, d'intéressants développements relatifs aux systèmes de coordonnées curvilignes qu'il qualifie de parallèles, qui sont ceux se correspondant de telle manière qu'aux points homologues les plans tangents aux surfaces coordonnées soient parallèles et, par suite aussi, les tangentes aux courbes coordonnées. L'auteur montre que les systèmes sont alors à lignes conjuguées, c'est-à-dire que les courbes coordonnées forment un réseau de lignes conjuguées sur chaque surface coordonnée; il détermine le degré de généralité de tels systèmes et en démontre un grand nombre de propriétés géométriques. Ces développements n'écartent d'ailleurs pas l'auteur de son sujet principal, attendu que les systèmes triples orthogonaux ne sont qu'un cas particulier au reste, le plus intéressant - des systèmes à lignes conjuguées.

M. Darboux, après avoir rappelé qu'on peut envisager cette théorie spéciale à un point de vue cinématique, en liant l'étude des systèmes triples orthogonaux à celle du mouvement d'un trièdre dont on connaît les rotations et les translations, aborde les détails du problème ainsi particularisé. Il fait voir qu'un système triple orthogonal est pleinement défini lorsqu'on se donne une surface de chacune des trois familles et montre comment on peut construire cet ensemble de trois surfaces et quel est son degré de généralité.

La génération des systèmes triples orthogonaux a donné lieu à des recherches importantes qui ont abouti notamment entre les mains de Combescure et de Ribaucour à d'élégants théorèmes dont l'auteur donne des démonstrations. Le théorème de Combescure a d'ailleurs servi de point de départ à la méthode de récurrence que l'auteur expose et qui peut être regardée comme le plus puissant moyen de recherche des systèmes triples orthogonaux. Si le théorème de Ribaucour ne donne rien de plus que cette méthode, il faut toutefois reconnaître qu'il est d'une incomparable élégance ainsi que le sont la plupart des résultats dus à ce magnifique géomètre.

Toutefois, la méthode la plus féconde semble être celle que M. Darboux expose en dernier lieu et qui, fondée sur l'emploi IIIe SÉRIE. T. XXI.

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des imaginaires, fait dépendre la solution complète du problème d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui ne contient que trois termes. Chemin faisant, l'auteur rappelle comment, bien que par une voie détournée, Ossian Bonnet était parvenu, dès 1862, à réduire la principale difficulté du problème à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre.

M. Darboux pousse, au reste, à fond l'étude de cette méthode dont il indique diverses applications. En généralisant un célèbre théorème de Moutard sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à invariants égaux, il est conduit, par une voie nouvelle, à la méthode de récurrence qui lui a permis de déduire, par de simples quadratures, de tout système triple, pour lequel on sait déterminer les systèmes parallèles, une suite illimitée de systèmes nouveaux.

L'auteur approfondit l'étude des systèmes triples qui admettent un groupe continu de transformations de Combescure, systèmes qui ont été envisagés pour la première fois en 1866 par M. Darboux lui-même et qui ont été, depuis lors, l'occasion d'importantes recherches de la part de divers géomètres parmi lesquels il convient de citer tout particulièrement M. Egorov.

Ayant fait voir que la détermination des systèmes en question se ramène à la mise sous une forme spéciale de l'élément linéaire de la sphère, l'auteur indique la solution complète de ce dernier problème qui a été donnée dernièrement par M. J. Haag. Il étudie enfin, d'après Ribaucour, toutes les surfaces qui admettent les systèmes sphériques précédents comme représentation de leurs lignes de courbure.

Enfin, il montre comment la considération de certains systèmes rencontrés dans un cas particulier par M. Guichard permet d'étendre notablement les beaux résultats que, sur ce sujet, la Science doit à M. Egorov.

Le volume se termine par quatre notes traitant de sujets variés en relation avec le sujet principal, savoir : l'application du théorème d'Abel sur les intégrales algébriques à la détermination d'une suite illimitée de systèmes triples orthogonaux algébriques; diverses importantes propriétés de la cyclide de Dupin; la recherche des systèmes triples qui comprennent une famille de telles surfaces ou, plus généralement, de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes; divers théorèmes nouveaux sur une classe particulière de déformations ponctuelles de

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