II. LE CALCUL DES PROBABILITÉS ET SES APPLICATIONS, par E. CARVALLO, directeur des études à l'Ecole polytechnique. 1 vol. in-8° de 169 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1912.

III. CALCUL DES PROBABILITÉS, par L. BACHELIER, docteur ès sciences, t. I, 1 vol. in 4° de 516 pages. Paris, GauthierVillars, 1912.

I. — Le calcul des probabilités, considéré du point de vue purement mathématique (ou, si l'on veut, le développement des théories analytiques auxquelles il a donné naissance) ne saurait trouver une expression plus élevée que celle qu'il a revêtue dans les belles leçons professées en 1893-1894 à la Sorbonne, par M. Poincaré, leçons d'où est sorti, en 1896, le volume rédigé par un auditeur du maître, connu lui-même pour d'intéressantes recherches sur l'application du calcul des probabilités à l'industrie des assurances. L'éloge n'est plus à faire de cette belle théorie mathématique des probabilités, qui jouit d'une haute notoriété parmi ceux que le sujet intéresse. Pourtant, en revoyant la rédaction primitive, en vue d'une seconde édition, l'auteur a encore été amené à y introduire nombre de perfectionnements de détail qui rendent l'oeuvre plus parfaite encore si possible.

Nous nous bornerons à signaler, dans cet ordre d'idées, l'ingénieuse introduction de ce que M. Poincaré appelle la fonction caractéristique relative à une loi de probabilité donnée d'où, par des considérations très simples (pp. 206 à 208), il déduit un mode nouveau de justification de la loi de Gauss.

Ajoutons qu'à la division en leçons, assez arbitraire, qui figurait dans la première édition, a été substituée une division en chapitres, avec titres spéciaux, qui facilite grandement les recherches, et que l'auteur a reproduit, en tête du volume, à titre d'Introduction, un intéressant extrait de son célèbre ouvrage Science et Méthode, traitant de ce qu'on pourrait appeler la philosophie du hasard.

II. Alors que, dans l'ouvrage de M. Poincaré, c'est le côté mathématique qui domine, c'est, au contraire, celui de la discussion des principes et des applications que M. Carvallo s'est attaché à mettre en relief dans le sien. On peut donc, à certain égard, regarder celui-ci comme une sorte de complément du précédent, ou, mieux encore, comme un exposé de principes préliminaire, par la lecture duquel, en tout cas, il y aurait pour l'étudiant grand intérêt à commencer.

L'idée de cet ouvrage a été, en grande partie, suggérée à l'auteur par l'énoncé du sujet mis au concours, en 1910, par l'Académie des Sciences de Madrid, et qui visait un exposé clair et simple du calcul des probabilités, propre à faire comprendre les principes fondamentaux de cette importante théorie, avec ses multiples applications, mais d'une façon en quelque sorte indépendante des développements analytiques requis pour l'établissement des formules.

On pouvait a priori se demander si un tel programme, évidemment très intéressant, pouvait en réalité être rempli. M. Carvallo n'en a point douté et les raisons qui l'ont fixé dans cette manière de voir méritent d'être retenues : « Il y a, dit-il, dans sa préface, des faits mathématiques, Hermite se plaisait à le dire, comme il y a des phénomènes naturels. L'observation sert à les découvrir et à les comprendre, tandis que la méthode déductive sert à les prouver. Prouver et comprendre sont deux choses différentes... » Si un livre comme celui de M. Poincaré est surtout fait pour prouver, le petit volume qu'a écrit M. Carvallo est principalement destiné à faire comprendre.

« Préférer, dit encore l'auteur, l'enseignement par l'exemple aux démonstrations abstraites, élaguer de celles-ci la partie formelle pour n'en garder que ce qui touche à la raison des choses, profiter de l'allègement qui résulte de ces simplifications, pour discuter au fond la signification des théories, leur pouvoir de découverte, l'étendue et les limites de leur domaine, tel est notre programme, en ce qui concerne l'exposition de la méthode. Quant à l'application, elle doit aborder toutes les branches utiles et le faire par un procédé uniforme, aussi simple que possible. >>

A la suite de ces lignes, d'une si remarquable netteté, il suffit, pour caractériser l'ouvrage, de dire que le programme ainsi défini a été rempli par l'auteur de la façon la plus heureuse.

Le volume ne comprend que quatre chapitres dont voici les titres 1. Les principes. II. La méthode statistique. III. Le problème de l'ajustement. — IV. Les limites du calcul des probabilités et les abus qu'on en a faits.

Nous signalerons rapidement quelques-unes des particularités qu'offrent ces divers chapitres. C'est, comme de raison, sur le célèbre théorème de Jacques Bernouilli et la loi des écarts qui en dérive que l'auteur s'appesantit surtout dans le chapitre I, mais dans l'ordre d'idées que nous avons souligné ci-dessus, c'est-à-dire, en mettant les faits en évidence sans se soucier des

développements mathématiques, très délicats comme on sait, qui viennent s'y greffer. Il nous semble que le sens exact et la portée du théorème ressortent avec une parfaite clarté de l'exposé de M. Carvallo. Alors que, bien souvent, le débutant a quelque peine à les dégager du redoutable appareil analytique au milieu duquel il lui faut les discerner. Notons d'ailleurs que l'auteur a directement recours à l'emploi de la courbe représentative de la probabilité des écarts, intégrale de la fameuse courbe en cloche envisagée par Gauss, et qui fait connaitre leur répartition. Autre particularité lorsqu'on désigne par ✪(t) 2 e-xdx, on sait que la probabilité

l'intégrale classique

Υπ

P(e) d'un écart inférieur en valeur absolue à e est donnée par P(€) = O(he), h étant la mesure de précision correspondante. Pour calculer P(e), on est dans l'habitude d'introduire comme argument le rapport de l'argument e à un écart e de probabilité constante, pour lequel le produit he a, par conséquent, une

valeur fixe k, et on a P(e) = (k). Dans les applications

courantes de cette formule, on fait généralement usage de

1

l'écart probable e,, défini comme tel que P(e) = 2' ce qui donne

alors k 0, 4769. M. Carvallo lui substitue l'écart étalon e pour lequel k = 1, ce qui introduit une simplification évidente dans l'usage de la table de la fonction O, étant donné, d'ailleurs, que, pour une série de n épreuves dans laquelle on attend la production d'un événement de probabilité p, cet écart étalon s'obtient immédiatement par la formule très simple

Le chapitre II précise l'application du calcul des probabilités (d'où résulte sa principale utilité) aux divers objets de la statistique. On y peut signaler spécialement une méthode bien ordonnée pour apprécier la valeur d'une série statistique; une étude approfondie sur la masculinité dans les naissances humaines, avec des observations nouvelles et concluantes; un exposé assez complet de l'état actuel des Tables de mortalité; des observations curieuses sur la statistique des tailles des conscrits, sur les erreurs dans les mesures expérimentales, sur la recherche des causes.

Le problème de l'ajustement qui, lorsqu'on a égard à la considération des écarts, revient à celui que les mathématiciens désignent sous le nom d'interpolation et qui consiste, en somme, à déterminer, la forme analytique de lois appliquées à des phénomènes, décelées par l'expérience, est traité, dans le chapitre III avec le plus grand soin et tous les détails mathématiques nécessaires à ceux qui ne veulent pas se borner à se faire une idée générale de la question; cette manière de faire, qui semble, au premier abord, un peu en désaccord avec la tendance générale de l'auteur, est justifiée par le fait que ces démonstrations, d'ailleurs faciles, sont peu répandues dans les traités classiques. Le dernier chapitre a pour but de bien faire sentir les précautions minutieuses que requiert l'application du calcul des probabilités à des questions non suffisamment définies ou dont les termes prêtent à équivoque. Ce morceau tout philosophique clôture dignement l'excellent livre de M. Carvallo que nous croyons apte à rendre les plus grands services, d'une part, à ceux qui, sans entrer dans le détail de la théorie mathématique, veulent acquérir des idées générales sur le sens et la portée des principes du calcul des probabilités, d'autre part, à ceux qui, désireux, d'approfondir cette théorie mathématique, ont souci, avant de s'y engager, d'apercevoir nettement le but vers lequel elle tend, ce qui est de nature à leur en faciliter singulièrement la compréhension.

III. A l'encontre des deux précédents ouvrages qui, bien qu'à des points de vue différents, tendent l'un et l'autre à fournir des exposés condensés de la matière visée, celui de M. Bachelier s'étend en détail sur l'ensemble des connaissances acquises jusqu'à ce jour dans le domaine du calcul des probabilités en y comprenant même certaines nouvelles méthodes dont l'auteur lui-même a été l'initiateur et d'où il compte voir sortir une transformation complète de ce genre de calcul.

Le mieux, au reste, pour faire saisir l'esprit dans lequel les dites méthodes ont été conçues, est de laisser la parole à l'auteur. Voici comment il s'exprime dans sa préface:

« La conception des probabilités continues constitue la base de ces nouvelles études. On pensait précédemment que seules des formules discontinues pouvaient être des conséquences exactes des principes du calcul des probabilités, et cette idée était d'autant plus naturelle que les problèmes traités alors ne pouvaient admettre d'autres genres de solutions.

>> On employait bien parfois des formules continues, mais on

les considérait comme approchées, de sorte qu'elles ne pouvaient servir de base pour de nouvelles recherches. Pour cette raison, leur emploi ne s'est pas généralisé depuis Laplace.

» L'idée de considérer les probabilités comme continues fut seulement envisagée, il y a quelques années lorsque je me proposai de résoudre des questions ne pouvant admettre que des solutions continues exactes.

» La théorie édifiée alors était assez particulière, les ébauches, publiées dans différents recueils indiquent le cours de son évolution; généralisée successivement dans tous les sens, elle a pris un tel développement qu'il m'a semblé nécessaire de la présenter sous une forme suffisamment explicite pour qu'elle soit à la portée de tous les mathématiciens. >>

La notion nouvelle n'apparaissant qu'au chapitre VI, on peut regarder les cinq premiers chapitres comme renfermant une exposition, d'ailleurs assez complète, de la partie, en quelque sorte, classique du calcul des probabilités.

Pour parvenir à la notion de probabilité continue, M. Bachelier suppose une suite d'épreuves en nombre très grand, de telle sorte que la succession de ces épreuves puisse être considérée comme continue et que chaque épreuve puisse être considérée comme un élément ». Et cette manière de concevoir les choses, qui revient, au fond, à ramener toutes les questions de probabilités à la théorie du jeu, le conduit c'est là un des côtés frappants de son œuvre à mettre en évidence certaines assimilations intéressantes avec quelques théories de la physique mathématique. Il va sans dire d'ailleurs que cette manière d'établir les formules les rend immédiatement applicables aux cas de phénomènes réellement continus, comme est celui de la spéculation. Aussi l'auteur s'étend-il particulièrement sur cette théorie de la spéculation qui a fait l'objet d'une bonne part de ses recherches antérieures et qui a l'avantage de mieux faire saisir, sur un exemple concret, le véritable sens des notions d'abord définies in abstracto sur lesquelles reposent les concepts de M. Bachelier.

Les chapitres consacrés à l'application du calcul des probabilités à des problèmes de géométrie, de cinématique et de dynamique, dans lesquels certains éléments dépendent du hasard, sont particulièrement intéressants et fertiles en résultats curieux. A voir l'abondance des matières, renfermées en ce gros volume, désigné comme un tome 1, on est tenté de se demander quels sont les sujets qui pourraient rester à traiter en des