X. L'Arithmétique (pp. 250-276). 1. Sur l'enseignement de l'arithmétique à l'École. 2. Sur un théorème d'arithmétique (le théorème fondamental de la théorie des nombres premiers).

Il y a une foule de bonnes observations méthodologiques dans le premier paragraphe. Dans le second, l'auteur justifie de son mieux une innovation assez indifférente qu'il a introduite dans son arithmétique à propos de l'ordre des premiers principes de la théorie des nombres. Deux remarques: 1 Contrairement à l'assertion de l'auteur (p. 266), on peut parfaitement employer l'expression multiplier par 45 mètres, c'est-à-dire composer avec le multiplicande, un nombre appelé produit, comme 45 mètres est composé avec 1 mètre (A. GOFFIN, 1864). 2' Il n'y a aucune raison d'exiger (p. 259) des enfants qu'ils fassent dans l'ordre logique, les diverses opérations nécessaires pour arriver à la solution d'un problème. Il faut, au contraire, leur permettre de les faire dans l'ordre qu'ils veulent : telle opération auxiliaire faite par eux au début de leur recherche de la solution leur rend beaucoup plus aisée la découverte du reste, quoique cette opération auxiliaire ne soit pas celle qui logiquement devrait venir la première.

XI. L'Analyse (pp. 277-285). 1. Préface de l'Introduction à la théorie des fonctions d'une variable. 2. Préface des leçons d'algébre et d'analyse. 3. Un livre d'analyse (Éléments de mathématiques supérieures de Vogt, un des élèves de Tannery).

XII. La Géométrie (pp. 286-299). Analyse d'ouvrages de F. Klein, Duporcq, H. Müller, Geissler, d'Ovidio. - XIII. Questions diverses d'enseignement et de méthode (pp. 300-325). 1. Une enquête sur la méthode de travail des mathématiciens. 2. L'économie politique et les mathématiques. 3. La mathématique de C. Laisant. 4. Sur la définition des unités dérivées.

Ces trois chapitres renferment une foule de remarques inté ressantes de méthodologie mathématique dont tout le monde. peut faire son profit. L'auteur, à propos des Premiers principes de géométrie moderne de M. Duporeq, se demande comment on pourra introduire la géométrie projective dans l'enseignement mathématique, et il semble la croire inutile dans les hautes écoles techniques, parce qu'elle est d'une médiocre utilité pour l'étude des éléments du calcul différentiel et intégral ». On a répondu pratiquement à cette question en Belgique. A Gand, à l'École du Génie civil et à la Faculté des Sciences, dès la première année, on enseigne et on apprend, sous une forme précise, les principes de la géométrie projective. Dans les années

suivantes, professeurs et élèves les utilisent de plus en plus aux cours de graphostatique et de stabilité des constructions, où leur emploi supprime de longs calculs. Il en est sans doute de même dans les autres Universités et l'on doit désirer que partout les cours de géométrie projective se développent à l'avenir aux dépens de ceux de géométrie descriptive pure et appliquée. XIV. Evariste Galois (pp. 326-334). Discours prononcé à Bourg-la-Reine, où la municipalité a fait placer une plaque commémorative sur la maison où est né Galois. Ce discours est un vrai petit chef-d'oeuvre : Tannery y rend hommage au grand géomètre de la manière la plus délicate, il donne une idée de ses travaux et il fait connaitre ses défauts sans y appuyer et sans attaquer personne des prétendus persécuteurs de cet infortuné jeune homme.

Table des matières (pp. 335-336). Dans une prochaine édition, il serait utile d'indiquer, avec précision, où et quand ont paru les divers chapitres du volume et d'y joindre un index des noms et des matières.

Tel est le livre de J. Tannery. L'auteur connait extrêmement bien les principes de l'arithmétique et de l'analyse, moins bien ceux de la géométrie et de la mécanique; il est hésitant sur la certitude des résultats auxquels conduit l'application de la science du nombre aux sciences physiques, parce que le relativisme semi-sceptique issu de Kant a eu une mauvaise influence sur lui. Mais tel qu'il est, avec ses qualités et ses défauts, le recueil Science et philosophie mérite d'être lu et médité par tous ceux qui s'occupent de logique scientifique, de méthodologie mathématique ou de n'importe quelle science de la nature, car il est éminemment propre à faire réfléchir ceux qui l'étudieront sur les principes des mathématiques et sur les limites de leur applicabilité. Or, les mathématiques ont une importance sans cesse grandissante que les philosophes et bien d'autres savants ne peuvent continuer à ignorer elles sont depuis longtemps la solide armature de la plus haute astronomie; au XIX siècle, elles ont envahi la physique tout entière; depuis Gibbs et ses émules, elles ont pénétré en chimie avec la thermodynamique; les recherches de Mendel, Jordan et de maints zoologistes ont fait dépendre de l'algèbre l'étude précise des notions d'espèce et de variété; l'économie politique appelle les mathématiques à son secours pour formuler avec une approximation plus grande ses tendances et ses lois; si les

tenants de la psychophysique les emploient de travers, c'est parce qu'ils en ignorent la vraie portée.

Tous ceux qui s'occupent de ces sciences diverses ont donc intérêt à lire Science et philosophie. Ils le feront d'ailleurs avec autant de plaisir que de profit; car nous devons faire remarquer ici avec M. Borel « quel écrivain admirable fut Tannery; lettre délicat, poète à ses heures, il alliait d'une manière singulièrement rare l'élégance et la pureté du style à la précision scientifique de la pensée. » Dans ses analyses d'ouvrages du Bulletin des sciences mathématiques, « sous une forme toujours courtoise, avec une ironie très douce et une finesse très enveloppée, il savait réunir l'exactitude détaillée du compte rendu, la sincérité du jugement, l'originalité des réflexions personnelles suggérées par l'oeuvre analysée. » Plus d'une fois, comme l'a remarqué M. E. Picard, le livre dont il résume les vues fondamentales, n'est clair que dans son résumé.

La notice de M. Borel sur Tannery est aussi très bien écrite et vraiment digne de Tannery lui-même.

PAUL MANSION.

IV

NATURWISSENSCHAFTEN UND MATHEMATIK im klassischen Altertum von J. L. HEIBERG in Kopenhagen. In-12 cartonné de IV-102 pp. Leipzig, B. G. Teubner, 1912. Prix: 1,25 mare.

Les spécialistes savent que les Grecs ont été directement ou indirectement, dans les sciences aussi bien que dans la littérature et l'art, les précurseurs et les maîtres de la culture européenne et par suite de la culture mondiale. Les personnes instruites ne l'ignorent pas en général, tant qu'il ne s'agit que du côté esthétique de la civilisation, mais le plus souvent elles ne se doutent pas qu'il en est de même au point de vue scientifique. C'est pourquoi M. Heiberg, si connu dans le monde des historiens des sciences par ses éditions d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius et de Ptolémée, en vue de combattre cette ignorance, a cru devoir écrire le résumé de l'histoire des sciences mathématiques, physiques, biologiques et médicales dans l'antiquité que nous annonçons.

Sommaire. 1. (pp. 1-5) La philosophie ionienne de la nature

(Thales, Héraclite, Anaximandre, Anaxagore, Leucippe, Démocrite). 2 (pp. 6-10). Les pythagoriciens (Hecatée, Herodote, Pythagore, Philolaus, Enopide; création des mathématiques; Parménide, Empedocle). 3 (pp. 11-20). La médecine au ve siècle (Hippocrate de Cos, ses précurseurs et ses continuateurs). 4 (pp. 21-24). Les mathématiques au ve siècle (Théodore de Cyrène, Hippocrate de Chios, Hippias d'Elis, Méton). 5(pp. 2531). Platon, l'Académie (Léon, Theudios, Théétète, Eudoxe, Archytas, Ménechme, Léodamas, rien sur Dinostrate; le système des sphères homocentriques; le médecin Dioclès). 6 (pp. 32-41). Aristote et les peripatéticiens (Théophraste, Ménon, Eudème, Aristoxène, Calippe; les progrès de la biologie; géographie : Aristobule, Megasthènes, Néarque; Dicéarque; Autolycus, Héraclide du Pont, Straton de Lampsaque). 7 (pp. 42-65). La période alexandrine (Démétrius de Phalère, Aristophane de Byzance, Hérophyle de Chalcédoine, Érasistrate, Eudème; Euclide, Archimède, Apollonius, Nicomède, Ctesibius, Eratosthènes; Aristarque de Samos, Hipparque). 8 (pp. 66-72). Les Épigones (progrès de la médecine, de la biologie, de l'astronomie, des mathématiques. Pénétration de l'astrologie en Grèce. Théodosius, Zénodore, Hypoicles, Perseus, Dioclès, Géminos; Strabon et autres géographes, Posidonius). 9 (pp. 73-77). Les Romains (Varron, Frontin, Censorinus, Pline, Celse, Pomponius Méla). 10 (pp. 7897). La littérature scientifique grecque sous les empereurs. Byzance (Nicomaque, Héron, Ménélaus, les deux Théon, Ptolémée; l'alchimie grecque; Pappus, Diophante, Hypathie, Proclus; les grands architectes byzantins; la médecine et la biologie, Galien, Dioscorides; Planude). 11 (pp. 98-100). Indications bibliographiques extrêmement bien choisies. 12 (pp. 101-102).

Index.

Les appréciations de M. Heiberg sur les auteurs cités sont, en général, objectives, sauf lorsqu'il s'agit de métaphysique et de religion les Grecs ont pourtant aussi été les maîtres de l'Europe en philosophie et en théologie. La première page de son excellent petit livre est déparée par cette assertion étonnante que la cosmogonie d'Hésiode est de beaucoup supérieure à l'histoire de la création de la Génèse. La dernière phrase du dernier chapitre est singulière aussi : « Tous les fondateurs de la science moderne, Galilée, Copernic, Giordano Bruno, Newton aussi bien que Vésale ont appris des Grees non seulement des données scientifiques spéciales, mais surtout ce qu'est la science ». On est étonné de trouver G. Bruno, qui n'a rien inventé, placé à

côté de Newton. Nous aurions mis, dans l'ordre chronologique : Copernic, Viète, Stévin, Gilbert, Galilée, Képler, Descartes, Fermat, Huygens, Newton, Leibniz, et à part, Vésale, Harvey, et peut-être Agricola et quelque botaniste de la Renaissance.

P. M.

V

PRÉCIS D'OPTIQUE publié d'après l'ouvrage de PAUL DRUDE, refondu et complété par MARCEL BOLL. Préface de PAUL LANGEVIN. Tome 11, Optique électromagnétique. Oplique énergétique. Un vol. grand in-8° de 362 pages, avec 64 figures dans le texte. Paris, Gauthier-Villars, 1912.

En rendant compte, dans cette REVUE (1), du premier volume de ce Précis d'Optique, nous avons indiqué le programme qu'il embrasse, l'esprit dans lequel il est conçu, et insisté sur ses mérites excellents; c'est, au fond, le Lehrbuch des Optik de Drude, élargi, complété et mis à jour avec la précision et la clarté des meilleurs traités français.

Rappelons que le premier volume comprend l'Optique géométrique ou des rayons lumineux, où sont exposées les lois générales et les idées directrices de l'optique technique; et l'Optique ondulatoire consacrée aux phénomènes d'interférence, de diffraction et de polarisation dont l'étude se ramène à la considération d'un vecteur transversal et doublement périodique dans le temps et dans l'espace sans qu'on ait à se préoccuper de la nature de ce vecteur. Le premier volume conduit done le lecteur jusqu'au point où l'achèvement de la synthèse des phénomènes lumineux et leur rapprochement avec d'autres phénomènes physiques analogues, rendent nécessaire le recours à une hypothèse d'interprétation.

Le choix de cette hypothèse ne s'impose pas absolument, mais il n'est pas indifférent à une bonne classification des phénomènes, à la coordination des lois expérimentales, à la commodité de leur application et à la synthèse générale de la physique. Deux théories surtout ont retenu successivement l'attention des physiciens: la théorie mécanique — celle de Huygens, Young,

(1) REVUE DES QUEST. SCIENT., 3a série, t. XX, 20 juillet 1911, p. 288.