«On savait que les chiffres transmis par les Arabes et l'arithmétique décimale provenaient des Indiens, mais on ne savait ni à quelle époque, ni par quels intermédiaires. D'après le texte précédent, les chiffres indiens étaient connus et très justement appréciés, l'an 662, par un Syrien, au monastère de Quennesré. Ce Syrien d'ailleurs, Sévère Sébokt, est homme de grande valeur qui a influé beaucoup sur la littérature syriaque : il a été évêque de son monastère, il en a fait un centre d'études grecques, il a composé beaucoup d'écrits, il a eu de nombreux disciples dont l'un, Athanase de Balad, devint patriarche des Jacobites, tandis que d'autres, Jacques d'Edesse et sans doute Georges des Arabes, sont des traducteurs et des polygraphes bien connus. Nous pouvons être certains que la connaissance des chiffres indiens, constatée en 662 au bord de l'Euphrate chez Sévère, a été transmise par lui à de nombreux disciples. Ce sont donc les Syriens qui nous apparaissent ici comme les intermédiaires qui ont transmis les chiffres indiens aux Arabes et aux Grecs modernes.

» Sévère était originaire de Nisibe, et l'Orient, depuis Alexandre, avait sans doute conservé avec l'Inde des relations commerciales auxquelles sont venues se joindre les rapports mutuels des chrétientés de ces pays. »

Il y a dans ces réflexions de M. Nau des vues fort neuves, méritant l'attention (1).

L'algèbre chinoise, par le P. Van Hee, S. J. (2).-Li Chang Tché, mathématicien chinois relativement assez moderne, a réuni les travaux anciens de ses compatriotes. Pour nous les faire connaître, un érudit sinologue, qui a passé de longues années en Chine, le P. Van Hee, S. J., en traduit quelques extraits en guise de spécimen.

Dans un premier article, il donne 34 vieux problèmes du second degré roulant tous sur le triangle rectangle. Le P. Van Hee ne dit pas clairement à quel siècle il faut les faire remonter. Quoi qu'il en soit, voici la transcription des quatre derniers de ces

(1) C'est ce qu'a déjà fait M. Eugène Löffler, Zur Geschichte der Indischen Ziffer, ARCHIV DER MATHEMATIK UND PHYSIK, 3e sér., t. 19, Leipzig et Berlin, 1912, pp. 174-18.

(2) Problèmes chinois du second degré, par Louis Van Hee, T'OUNG-PAO, t. XII, Leide Brill, 1911, pp. 559-562.

Algèbre chinoise, par le Rev. Père Van Hee, S. J. Même recueil, t. XIII, 1912, pp. 291-300.

problèmes en écriture et chiffres européens. Soit a l'hypoténuse, b la base, c la hauteur:

N° 31. Données ca=144 et b + (a−c)=28, on demande. a, b, c?

N° 32. Si ca=338 et (a — c) - b=24, que valent a, b, c? N° 33. On donne a et b + (a + c)=528, chercher (= 4 a, b, c?

N° 34. Si ac=12 et (a + c) b=1080, chercher a, b, c? Le second article du P. Van Hee est beaucoup plus intéressant encore que le premier. Voulant généraliser ses problèmes numériques sur le triangle rectangle, Li Chang Tché les ramène tous å vingt-cinq types. Grâce au T'ien-yuen (l'algébre) il trouve pour les résoudre une marche mécanique qu'il traduit en formules. Mais ici se dévoile cependant la différence entre le Chinois et l'Occidental.

Chez le mathématicien jaune, dit le P. Van Hee, c'est l'amour du détail sans grand souci de la synthèse; chez nos algébristes, depuis les Grecs jusqu'aux modernes, c'est le besoin de la généralisation scientifique. Les auteurs chinois semblent avoir eu pour objet d'épuiser, par additions et soustractions, toutes les combinaisons possibles pour varier les deux données nécessaires à la solution du triangle rectangle, dans leur système. Ils ne se sont pas aperçus, que c'est une espèce de progrès à rebours que de donner des noms différents à la base et à la hauteur du triangle rectangle...

» Le texte des problèmes et des solutions est concis, technique, obscur, très obscur mème, aux non initiés. Toutefois comme il est pour ainsi dire stéréotypé, il suffira de traduire avec commentaire 5 ou 6 problèmes pour livrer la clef de tous les autres. » La travail du P. Van Hee n'est pas banal.

L'invention des fractions décimales, par D. E. Smith (1). - Bien qu'il date de 1899, le mémoire de M. Gravelaar de Deventer sur les origines des fractions décimales (2) reste toujours le plus complet et le mieux documenté sur ce problème intéressant. Ce n'est pas que le savant hollandais ait épuisé le sujet; selon nous, il ne le sera probablement jamais, et quand on attribue à

(1) The invention of the Decimal Fraction. TEACHERS COLLEGE BULLETIN, 1 sér., No 5, New-York, 1910, pp. 11-21.

(2) De Notatie der Decimale Breuken. NIEUW ARCHIEF VOOR WISKUNDE, Amsterdam, 2 sér., t. 4, pp. 54-73.

Simon Stevin l'invention des fractions décimales il s'agit de s'entendre. Des exemples isolés de fractions décimales se rencontraient déjà bien longtemps avant Stevin, mais beaucoup mieux que ses devanciers l'illustre Brugeois aperçut les avantages de cette notation. Il insista sur l'utilité de l'employer d'une manière systématique et y consacra même, en 1585, un petit volume séparé De Thiende (1). En outre, le premier probablement, it pròna l'adoption d'un système décimal des poids et mesures.

Les précurseurs de Stevin n'en restent pas moins fort intéressants, et la rareté des arithmétiques du xvr siècle permettra pendant longtemps encore d'y faire des remarques neuves et curieuses. Plus d'un lecteur l'expérimentera en lisant le travail de M. Smith. Pour apprécier le développement et les progrès de la notation des tractions décimales, dit l'auteur, il se la faut figurer exactement telle qu'elle était, et non pas telle que nous nous la représentons avec nos caractères typographiques modernes. Dans ce but, il donne le fac-simile de quelques pages des arithmétiques anciennes contenant des notations typiques, pages reproduites par le procédé anastatique. Savoir une page de la Rechnung auf der Linien und Federn d'Adam Riese (Erfurt, 1522); une de La art de arithmeticha de Francesco Pellos, ou Pellizati, de Nice (Turin, 1492) (2); une de l'Erempel Büchlin Rechnung de Christophe Rudolf (Augsbourg, 1530); une enfin de l'Arithmétique de Simon Stevin (Leyde, Plantin, 1585). Toutes ces arithmétiques se trouvent à la bibliothèque Plimpton, à New-York, aujourd'hui la plus riche du monde en arithmétiques du XVI° siècle.

Discours sur la vie et l'œuvre de Grégoire de Saint Vincent, par M. Neuberg (3) Appelé comme directeur de la

(1) Tot Leyden, By Christoffel Plantijn, M.D.LXXV, (Univ. de Louvain et Musée Plantin à Anvers).

(2) Voici le titre de ce rarissime volume d'après les Rara Arithmetica de M. D. E. Smith, Boston, 1908, t. 1, p. 51. Sen segue de la art de arithmeticha et semblatment de ieumetria dich ho nominatz, Copendio de abacho 1234567890.

A la fin Complida es la opera ordinada he condida Per noble Frances pellos. Citadin es de Nisa... Impresso in Thaurino lo present copendio de abaco per meistro Nicolo benedeti he meistro Jacobo suigo de santo germano. Nel anno 1492, ad Di 29 de septembrio.

(3) BULLETIN DE L'ACADÉMIE Royale de BelgIQUE (Classe des sciences). n° 12, pp. 922-932, 1911.

classe des sciences, à prendre la parole à la séance publique de l'Académie Royale de Belgique, M. Neuberg a cru, avec raison, pouvoir intéresser l'assistance en faisant un exposé succinct de la vie et de l'œuvre de l'illustre mathématicien belge. Le développement complet du sujet aurait excédé le temps accordé à l'orateur par la tradition; aussi M. Neuberg a-t-il écarté tout ce qui aurait eu un caractère un peu aride pour la solennité.

Le discours débute par un excellent résumé de la vie de Grégoire. Vient ensuite une analyse rapide des six premiers livres du Problema Austriacum; mais des six premiers livres sculement. Le grand ouvrage de Grégoire est, on le sait, divisé en dix livres.

Le premier livre, dit M. Neuberg, renferme un grand nombre de théorèmes sur la division harmonique, que l'auteur appelle division en moyenne et extrême raison proportionnelle; on y rencontre aussi quelques problèmes assez curieux, une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore, des relations métriques entre les éléments d'un triangle, de nombreuses applications de la théorie des lignes proportionnelles. Il y a aussi lieu de signaler des traces de la théorie de l'homothétie et des axes radicaux.

» Le livre II traite des progressions géométriques décroissantes prolongées indéfiniment; les termes sont représentés par des segments consécutifs d'une même droite. La limite de la somme des termes est établie par un procédé géométrique très ingénieux. Grégoire démontre un grand nombre des propriétés de ces progressions; on les déduirait aujourd'hui de calculs très simples. Il considère aussi des surfaces semblables et des solides semblables en progression.

» Le livre III donne de nombreux théorèmes et problèmes sur le cercle, dont un recueil d'exercices pourrait encore aujourd'hui tirer un excellent parti. »

De nos jours, les livres IV, V et VI sont les plus connus de l'oeuvre de Grégoire, grâce à la magistrale analyse de M. Bopp (1). M. Neuberg y relève un fait peu remarqué jusqu'ici : le Problema Austriacum donne, avant Chasles, les relations entre les coordonnées des extrémités de deux diamètres conjugués.

Pour terminer M. Neuberg nous dit enfin un mot du curieux

(1) Die Kegelschnitte des Gregorius a St-Vincentio, Leipzig, Teubner, 1907. J'en ai rendu compte dans la REVUE, en juillet 1907.

chapitre de Grégoire consacré à l'analogie (symbolisatio) de la parabole et de la spirale d'Archimède.

Sur l'histoire du calcul infinitésimal entre les années 1620 et 1660, par A. Aubry (1). Malgré tout ce qui a été dit sur l'histoire de l'invention du calcul infinitésimal, il s'en faut qu'on en ait tout dit! » A cette observation, M. Aubry ajoute quelques réflexions fort justes. Je les abrège un peu.

L'enchainement des découvertes, la mise en relief de l'influence qu'elles ont eue les unes sur les autres, doit être l'un des principaux objectifs de l'historien des mathématiques. Or relativement aux origines du calcul infinitésimal, ce but est particulièrement difficile à atteindre.

Le plus souvent, se basant sur l'importance du commerce épistolaire, qui existait entre savants au XVII siècle, les historiens se sont attachés à relater à la date des lettres écrites par les géomètres, des travaux consignés dans des livres parus longtemps plus tard. Et cependant, par suite de cette tardive publication, un petit nombre seulement de savants avaient jusque-là profité réellement de la découverte.

Veut-on, au contraire. comme l'a fait, par exemple, M. Aubry lui-même, dans son Essai sur l'Histoire des Courbes (2), où se trouvent traités incidemment quelques points de l'histoire du calcul infinitésimal veut-on s'astreindre à citer les découvertes dans l'ordre chronologique de leur divulgation imprimée? Cette manière de procéder prète également à la critique. Il ne suit pas de la publication imprimée d'une découverte, que celle-ci ait été immédiatement connue et appréciée, même part le public restreint que constituaient les savants d'alors. Cette publication a-t-elle toujours influé sur les découvertes suivantes? Il est au contraire certain que la correspondance des savants a presque autant que leurs ouvrages contribué au progrès de la science.

Pour répandre la lumière sur l'histoire du calcul infinitésimal, un recueil, aussi complet que possible, de documents relatifs à cette histoire serait d'une haute importance. Il y aurait lieu surtout de rechercher des pièces peu connues aujourd'hui, soit

(1) ANNAES DA ACADEMIA POLYTECHNICA DO PORTO, publicados sob a direcção de F. Gomes Teixeira, Coimbra, t. VI, 1911, pp. 82-89. L'article est en français.

(2) Même recueil, t. IV, 1909, pp. 65-112. L'article est, comme le précédent, écrit en français.