tenir dans le petit volume beaucoup plus de choses qu'on ne pourrait présumer. C'est là un mérite sur lequel nous nous plaisons à insister, car nous avons souvent déploré la tendance à une encombrante prolixité de tant d'écrivains scientifiques. Pour arriver à condenser la matière comme l'a fait M. de Montessus, il faut être très familier avec le sujet traité et c'est bien le cas de l'auteur, qui a non seulement beaucoup étudié, et de longue date, les fonctions elliptiques, mais qui a de plus fait des recherches originales sur ces fonctions et les a appliquées à divers problèmes nouveaux. Mais la qualité la plus éminente de l'ouvrage est incontestablement son esprit algébrique, qui s'affirme du commencement à la fin.

Avant de passer à une analyse détaillée, une parenthèse. M. de Montessus a publié, en 1915, des Exercices et Leçons de Mécanique analytique, qui se terminent par une Note, d'une soixantaine de pages, remarquablement substantielle, où il expose la théorie des fonctions elliptiques dans le domaine réel, autrement dit « leur trigonométrie », en vue de leurs applications à la géométrie des masses et à l'étude analytique du mouvement. On peut considérer qu'à certains points de vue, cet Appendice est développé dans les Leçons actuelles. En effet, comme l'indique le titre, l'auteur se place encore au point de vue des applications; il fait beaucoup de calculs et résout toutes les difficultés arithmétiques; de sorte que l'on peut dire que si ce volume ne contient pas d'applications proprement dites, il est bien fait pour y aboutir.

La théorie des fonctions elliptiques, plus peut-être qu'aucune autre branche des mathématiques, a été fouillée dans tous les sens. On peut l'aborder et la développer par des voies très diverses et il est indispensable, pour en faire une étude sérieuse, de se placer successivement à des points de vue différents. C'est ce qu'a fait l'auteur. L'ordre dans lequel se suivent ces points de vue caractérisera son ouvrage. La marche qui consiste à partir des fonctions doublement périodiques (et dont nous reparlerons plus loin) est la plus courte, mais celle qui prend comme point de départ les intégrales elliptiques a l'avantage d'être plus élémentaire et plus conforme à l'ordre historique. Et M. de Montessus a bien raison de débuter de cette seconde manière.

Il commence donc (Première Partie) en procédant comme III SÉRIE. T. XXVII.

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Abel, c'est-à-dire en définissant sn u comme fonction inverse de l'intégrale elliptique de première espèce de Legendre:

l'auteur introduit ainsi les transcendantes sn, en, dn, dans le domaine réel, à l'aide de l'inversion de cette intégrale. L'intégration de l'équation différentielle d'Euler fournit la formule d'addition pour sn. On établit ainsi qu'il n'existe qu'une période fondamentale réelle pour cette fonction. En imaginarisant l'argument, on montre que la formule d'addition permet encore de définir sn u dans tout le plan et d'en établir la double périodicité.

Les intégrales elliptiques sont alors réduites aux formes normales et l'auteur aborde une des deux parties de son ouvrage où l'on trouve les renseignements nécessaires pour les calculs qui se présentent dans les applications. Il développe en série l'intégrale de première espèce qui se présente dans la théorie du pendule et l'intégrale de seconde espèce qui inte vient dans la rectification d'un arc d'ellipse. Dans ce cas on a une elu qui n'est pas elliptique, mais qui admet néanmoins une fonction formule d'addition, en relation étroite avec la fonction sn. L'auteur donne des Tables abrégées des valeurs des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce (on n'en peut construire pour l'intégrale de troisième espèce, car il y a trois variables x, c, k). Mais ces tables ne peuvent donner qu'une idée des valeurs de ces fonctions; et l'on expose alors le calcul direct des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce. Une simplification est fournie par la transformation de Landen. Elle donne le rapport de deux intégrales elliptiques de même forme, mais de modules k inégaux. M. de Montessus donne, d'après J. Bertrand, une élégante et lumineuse représentation géométrique de cette transformation, comme correspondance entre deux angles dont l'un est inscrit dans une demicirconférence dont le diamètre contient le sommet de l'autre angle.

La Seconde Partie, la plus longue des quatre, a pour but de passer des fonctions de Jacobi (sn, cn, dn) aux fonctions de Weierstrass (pu, Zu, ou). La théorie générale des fonctions doublement périodiques ne peut être établie commodément en partant des premières. Les secondes sont, il est vrai, moins bien

appropriées aux calculs numériques, mais elles se prêtent beaucoup mieux aux études analytiques. On passe, à l'aide de changements de variables, des intégrales elliptiques canoniques où les radicaux portent sur des polynomes du 4° degré à d'autres où les polynomes ne sont plus que du 3 degré, de la forme

on doit alors distinguer deux cas suivant le signe du discriminant

La formule d'addition de pu est déduite de celle de sn quand ▲ est positif, de celle de cn quand ▲ est négatif. Il y a de même un raisonnement double en ce qui concerne la périodicité de pu. L'auteur passe ensuite aux fonctions Zu et ou, où son exposé n'est pas sans quelque originalité. Par exemple, la relation entre les quantités et w (dans la théorie de Zu) est établie d'une manière ingénieuse en utilisant les formules d'homogénéité. Pour les trois fonctions, l'auteur prend les expressions pour les arguments u réel, ui et u + iv, ce qui présente plusieurs avantages. Enfin, les fonctions σu, σu, σu sont introduites, ce qui conduit finalement à la multiplication de l'argument de ou.

Dans la Troisième Partie, la plus courte mais peut-être aussi la plus originale, les propriétés des fonctions elliptiques sont déduites de deux manières des généralités de la théorie des fonctions. La première méthode, la plus abordable, est celle du Traité de MM. Appell et Lacour, où l'on s'appuie sur les propriétés générales de la théorie des fonctions méromorphes. On obtient ainsi des séries de fractions rationnelles. La seconde méthode, qui est celle du Cours d'Analyse de M. C. Jordan, étudie au moyen de lacets les déterminations de l'intégrale elliptique; cette manière de procéder nous semble plus intuitive que l'autre, surtout quand, g, et g étant quelconques, les singularités des intégrales ont des positions arbitraires dans le champ de la variable complexe. M. de Montessus compare donc ces deux méthodes. Après avoir complètement généralisé la fonction pu, il revient rapidement à la généralisation du module dans sn, en, dn. - Signalons enfin la démonstration du théorème de Liouville, que l'auteur aurait pu admettre, semble-t-il, comme il a fait pour le théorème sur les résidus.

Très heureusement, une Quatrième et dernière Partie est consacrée aux transcendantes e de Jacobi, fonctions aussi inté

ressantes théoriquement qu'importantes pratiquement, par exemple pour les applications numériques. M. de Montessus établit quelques-unes de leurs propriétés les plus simples, en évitant la complexité des notations qui était à craindre dans cette théorie. Utilisant notamment les fonctions jouissant des propriétés représentées par les égalités :

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utilisant aussi la parité en z pour F, et F, et l'imparité pour F et F1, l'auteur obtient, sans grande complication de calculs, des développements en séries entières pour ces fonctions.

Par l'intermédiaire des fonctions on revient ensuite aux fonctions elliptiques étudiées antérieurement.

Les trois derniers chapitres constituent le second endroit de l'ouvrage consacré aux calculs qui peuvent se présenter dans les applications. Le chapitre XVIII s'occupe des calculs numériques relatifs à pu, Zu, σu, σ1u, σu, Ou, dans le cas où g2 et g, sont réels; le chapitre XIX le fait dans le cas où ces invariants sont imaginaires. Quant au dernier chapitre, il traite successivement du calcul des trois intégrales elliptiques à l'aide des fonctions 0. On y trouve de nombreuses et remarquables identités numériques. Des formules relatives aux fonctions e, très bien disposées en tableaux, sont d'un emploi commode. La lecture de ce passage des Leçons facilitera l'étude d'une partie particulièrement épineuse du grand Traité de Halphen, où l'on se perd aisément.

Ajoutons que l'exécution matérielle et, notamment, l'exécution typographique est parfaite, ce qui vraiment n'est pas banal pendant la terrible crise que subit l'industrie du Livre.

En résumé, il n'est nullement exagéré de dire que l'ouvrage de M. de Montessus est destiné à se ranger parmi les meilleurs sur les fonctions elliptiques. En outre, comme, tout en étant à la portée des étudiants, il mérite de se trouver dans la bibliothèque et même sur la table des savants avancés, il comble une vraie lacune. Et pour conclure de même que les Exercices et Leçons de Mécanique analytique, ce livre est assuré de la plus grande diffusion et du plus beau succès, tant à l'étranger qu'en France.

M. LECAT.

III

RELATIONS REMARQUABLES ENTRE LES ÉLÉMENTS DU SYSTÈME SOLAIRE, par LUCIEN DEMOZAY. Un vol. in-8° de Ix-141 pages. Paris, Gauthier-Villars, 1919.

Les relations mises en évidence dans cet ouvrage se rapportent aux distances des planètes au Soleil et des satellites à leur planète, aux périhélies, aux inclinaisons des axes de rotation des planètes, aux durées de rotation, aux excentricités. Elles sont pleines d'intérêt et certaines sont impressionnantes. On comprend que l'auteur, tout plein de son sujet, et convaincu « que toute hypothèse cosmogonique devra en tenir compte désormais », ait tenu à faire connaître toutes les confirmations, toutes les vérifications qu'il s'est ménagées. Il en résulte un texte un peu touffu, et dans lequel on a parfois certaine peine à dégager l'essentiel de l'accessoire.

1. Distances des planètes et des satellites. - Aux lois de Bode, de Chambers, de Blagg, de Delaunay, de Belot, l'auteur ajoute la suivante: «Chaque système astronomique, composé d'un astre central et de ses satellites, dérive d'un système astronomique type dans lequel les distances sont réparties en trois groupes successifs et distincts. Dans chacun de ces groupes, les distances varient en progression arithmétique dont les raisons sont proportionnelles aux nombres 1, 3, 30 ». Si je comprends bien, ceci équivaut à dire : dans chaque système astronomique, on peut trouver, pour toute composante de ce système, un nombre i égal à 1, 2 ou 3, et tel que le produit de (61 — 36,5i +5,52) par le rayon moyen a de l'orbite, se place dans une progression arithmétique. Dans le système solaire, i = 1 pour Mercure, i 2 pour Vénus, la Terre et Mars, i = 3 pour chacune des quatre grosses planètes, et, en prenant le rayon moyen de l'orbite terrestre pour unité dans la mesure de a, la raison de la progression est égale à 5.

=

=

II. Emplacements des périhélies. Les périhélies des quatre planètes du groupe i 3 appartiennent à un même plan; ce plan coupe celui des périhélies du groupe i 2 suivant une parallèle à l'écliptique. Dans chacun de leurs plans, les périhélies de chaque groupe sont répartis le long d'une même spirale d'Archimède partant du Soleil, et les caractéristiques de ces spirales se prêtent à des rapprochements intéressants.